Стереометрия, готовые решения задач

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны 5. На его ребре ВВ₁ отмечена точка К так, что КВ = 3. Через точки К и С₁ проведена плоскость α, параллельная прямой BD₁.

а) Докажите, что А₁Р = РВ₁ = 1 : 2, где Р - точка пересечения плоскости α с ребром A₁B₁.

б) Найдите объем большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.

в) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани ВВ₁С₁С.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания - точка С₁, причем СС₁ - образующая цилиндра, а АС - диаметр основания. Известно, что ∠АСВ = 30°, АВ = √2, СС₁ = 2.

а) Докажите, что угол между прямыми АС₁ и ВС равен 45°.

б) Найдите объем цилиндра.

в) Найдите расстояние от точки В до прямой АС₁.

г) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. 

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания - точки В₁ и С₁, причем ВВ₁ - образующая цилиндра, а отрезок АС₁ пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол АВС₁ прямой.

б) Найдите объем цилиндра, если АВ = 7, ВВ₁ = 24, В₁С₁ = 10.

в) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

г) Найдите угол между ВВ₁ и АС₁.

д) Найдите расстояние от точки В до прямой АС₁.

Объем треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух ребер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 25. Найдите объем куба.

Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания и высота цилиндра равны 8. Найдите объем параллелепипеда.