В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания - точка С₁, причем СС₁ - образующая цилиндра, а АС - диаметр основания. Известно, что ∠АСВ = 30°, АВ = √2, СС₁ = 2.

а) Докажите, что угол между прямыми АС₁ и ВС равен 45°.

б) Найдите объем цилиндра.

в) Найдите расстояние от точки В до прямой АС₁.

г) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. 

Решение задачи

а) Т.к. СС₁ перпендикулярно плоскости основания, то СС₁ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, т.е. СС₁⊥ВС.

Проведем образующую ВВ₁ перпендикулярно плоскости основания. ВВ₁С₁С - прямоугольник, т.к. ВВ₁ || СС₁, а значит, ВВ₁⊥ВС. Отсюда B₁C₁|| BC и ∠В₁С₁А - искомый угол (рисунок ниже).

Т.к. АС - диаметр, то угол ∠АВС = 90° (вписанный угол, опирающийся на дугу в 180°) ⇒ ΔАВС - прямоугольный. 

В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы, значит, АС = 2АВ = 2√2.

По теореме Пифагора найдем ВС:

(рисунок ниже)

Пусть АА₁ - образующая, тогда АА₁В₁В - прямоугольник с диагональю АВ₁.

По теореме Пифагора найдем АВ₁:

Треугольник АВ₁С₁ - равнобедренный, т.к. АВ₁ = ВС = √6. Найдем АС₁ и докажем, что треугольник АВ₁С₁ - прямоугольный.

Из ΔАСС₁ по теореме Пифагора найдем АС₁:

(рисунок ниже)

Проверим с помощью теоремы Пифагора является ли треугольник АВ₁С₁ прямоугольным:

Значит, АВ₁С₁ - прямоугольный, а также, равнобедренный, и его острые углы равны 45°, т.е. ∠В₁С₁А = 45°.

б) Чтобы найти объем цилиндра нужно площадь основания умножить на высоту (высота равна образующей, а радиус равен половине диаметра АС).

V = πR²h = π · (√2)² · 2 = 4π

в) По теореме о трех перпендикулярах СС₁⊥ВС, ВС⊥АВ ⇒ BC₁ ⊥ АВ, значит ∠АВС₁ = 90° и ΔАВС₁ - прямоугольный.

Рассмотрим плоскость АВС₁. Перпендикуляр ВН, проведенный к гипотенузе АС₁ - искомое расстояние от точки В до прямой АС₁.

Из ΔВСС₁ по теореме Пифагора найдем ВС₁:

Выразим площадь треугольника АВС₁ двумя способами: через кататы и через основание и высоту:

Площадь треугольника не меняется от способа вычисления, поэтому

г) Для нахождения площади боковой поверхности нужно длины окружности основания умножить на высоту(длина окружности - это произведение числа пи и диаметра, высота равна образующей цилиндра).

S_бок = πdh = π · AC · CC₁ = π · 2√2 · 2 = 4π√2.

Ответ: б) 4π; в) √15/3; г) 4π√2.