В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания - точки В₁ и С₁, причем ВВ₁ - образующая цилиндра, а отрезок АС₁ пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол АВС₁ прямой.

б) Найдите объем цилиндра, если АВ = 7, ВВ₁ = 24, В₁С₁ = 10.

в) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

г) Найдите угол между ВВ₁ и АС₁.

д) Найдите расстояние от точки В до прямой АС₁.

Решение задачи

а) По условию образующая ВВ₁ перпендикулярна основанию, значит, ВВ₁ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости основания. Плоскость ВВ₁С₁ содержит прямую ВВ₁, перпендикулярную основанию, значит вся плоскость ВВ₁С₁ перпендикулярна основанию. Т.к. ВС₁ лежит в плоскости ВВ₁С₁, то она тоже будет перпендикулярна основанию, а значит, перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости основанию, в том числе и прямой АВ. Отсюда, АВС₁ - прямой.

Как записать?

ВВ₁⊥(АВО) и ВВ₁⊂(ВВ₁С₁) ⇒ С₁В⊥(АВО), т.к. С₁В⊂(ВВ₁С₁) (по признаку перпендикулярности плоскостей). Отсюда, С₁В⊥АВ и ∠АВС₁ - прямой.

Признак перпендикулярности плоскостей: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

б) Проведем образующую СС₁⊥(АВО). Т.к. АС₁ проходит через ось цилиндра, то АС - проекция наклонной АС₁ на плоскость АВО и АС - диаметр нижнего основания.

ВВ₁ = СС₁ = 24 и ВВ₁ || СС₁ ⇒ ВВ₁С₁С - прямоугольник и ВС = В₁С₁ = 10.

Рассмотрим треугольник АВС. Угол СВА опирается на диаметр АС, значит ∠СВА = 90° и ΔАВС - прямоугольный.

По теореме Пифагора: АС² = ВС² + АВ².

АС² = 10² + 7² = 100 + 49 = 149;

АС = √149 - диаметр, R = √149/2.

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту, т.e. V = πR²h.

V = π(√149/2)² · 24 = 894π.

в) S_бок = 2πRh = 2π · √149/2 · 24= 24π√149.

г) Т.к.ВВ₁ || CC₁, то угол СС₁В - искомый.

ΔС₁СА - прямоугольный, т.к. СС₁⊥(АВО).

Выразим тангенс угла СС₁В.

д) Рассмотрим плоскость ВАС₁. Расстоянием будет являться перпендикуляр, проведенный из точки В к прямой АС₁.

ВН - высота прямоугольного треугольника ВАС₁ и будет искомым расстоянием (см. рисунок ниже).

Из треугольника ВВ₁С₁ по теореме Пифагора:

Из треугольника АСС₁ по теореме Пифагора:

Найдем площадь треугольника АВС₁ через катеты:

Найдем площадь треугольника АВС₁ через основание и высоту:

Площадь треугольника не меняется от способа вычислений, поэтому

Ответ: б) 894π; в) 24π√149; г) arctg(√149/24); д) (182√29)/145.