В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны 5. На его ребре ВВ₁ отмечена точка К так, что КВ = 3. Через точки К и С₁ проведена плоскость α, параллельная прямой BD₁.

а) Докажите, что А₁Р = РВ₁ = 1 : 2, где Р - точка пересечения плоскости α с ребром A₁B₁.

б) Найдите объем большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.

в) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани ВВ₁С₁С.

Решение задачи

Построение сечения.
1) Точки К и С₁ лежат в одной плоскости ВСС₁, проведем прямую КС₁.

2) Через С₁ проведем прямую, параллельную прямой BD₁, и продлим прямую АВ. Эти две прямые пересекутся в точке L.

3) Точки К и L лежат в одной плоскости АВВ₁, проведем прямую KL. Она пересечет ребро А₁В₁ в точке P.

4) Точки Р и С₁ лежат в плоскости А₁В₁С₁, проведем РС₁.

5) KPC₁ – искомое сечение.

а) В₁K = BB₁ - KB = 5 - 3 = 2

BLC₁D₁ – параллелограмм по построению (т.к. С₁L || BD₁ и С₁D₁ || AL), следовательно C₁D₁ = BL = 5.

Треугольники PB₁K и KBL подобны по двум углам, т.к. ∠PKB₁ = ∠BKL – вертикальные и ∠BPK = ∠KLB – накрест лежащие при параллельных прямых.
Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон, т.е.

Найдем отношение A₁P и PB₁:

б) Найдем объем пирамиды PKB₁C₁ c высотой РВ₁ (РВ₁ будет перпендикулярно грани ВВ₁С₁, т.к. ребра и грани куба перпендикулярны между собой).

Найдем объем всего куба:

Найдем объем большей части куба, находящейся под сечением:

в) Опустим перпендикуляр из точки Р∈α (α - это КРС₁) к плоскости грани ВВ₁С₁С. Он совпадет с РВ₁. Опустим перпендикуляр B₁N из точки В₁ к линии пересечения КС₁ плоскостей . Угол В₁NP - искомый угол прямоугольного треугольника PB₁N.

В треугольнике КВ₁С₁ по теореме Пифагора

Выразим площадь треугольника КВ₁С₁ через катеты:

Выразим площадь треугольника КВ₁С₁ через основание и высоту:

От способа нахождения значение площади не меняется, поэтому

В прямоугольном треугольнике PB₁N выразим тангенс угла В₁NP:

А теперь найдем угол В₁NP: