В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно АМ, пересекает сторону АС в точке N. Известно, что АВ=6, ВС=5, АС=9.

а) Докажите, что биссектриса угла С делит отрезок МN пополам.

б) Пусть Р - точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношение АР : PN.

Решение задачи

а) Рассмотрим ΔАВС. По свойству биссектрисы (Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон):

ΔАBN - равнобедренный, т.к. АО - биссектриса (по условию) и высота (BN⊥AM), а значит, и медиана ⇒ АВ = АN = 6 и ВО = ON.

NC = AC - AN = 9 - 6 = 3.

ΔCMN - равнобедренный, т.к. MC = CN = 3, значит, CK - биссектриса, а следовательно, и медиана, и высота. Отсюда, MK = KN.

б) ΔPMC - равнобедренный, т.к. PK - медиана (MK = KN) и высота (CK⊥MN), значит, PM = PN.

Рассмотрим ΔAMC с биссектрисой СР. По свойству биссетрис

Ответ: б) 3 : 1

Просмотры: 142

ОГЭ

Решение задачи

ЕГЭ (базовый уровень)

ЕГЭ (профильный уровень)