В сентябре 2027 года Мария планирует взять кредит в банке на 6 лет в размере 4,5 млн рублей. Условия его возврата таковы:

- в январе 2028, 2029 и 2030 годов долг увеличивается на r% от суммы долга на конец предыдущего года;

- в январе 2031, 2032 и 2033 годов долг увеличивается на (r-3)% от суммы долга на конец предыдущего года;

- в период с февраля по август необходимо выплатить часть долга;

- в сентябре каждого года действия кредита долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на сентябрь предыдущего года;

- к сентябрю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.

Известно, что общая сумма выплат по кредиту должна составить 7,2 млн рублей. Сколько рублей составит выплата 2032 года?

Решение задачи

Дано:

S = 4,5 млн. руб.

n = 6 лет

а₁ = r%

m₁ = 1 + r/100

а₂ = (r - 3)%

m₂ = 1 + (r - 3)/100 = 0,97 + r/100

x_n - выплаты

x₁+...+x₆ = 7,2

Найти: x₅

Решение:

Так как долг уменьшается на одну и ту же величину в течение шести лет, то  это уменьшение будет равно S/6.

1 год.
На сумму кредита S начисляются проценты, т.е. сумма долга увеличивается в m₁ раз. Производится первая выплата х₁. При этом долг уменьшается на S/6 и становиться равным 5S/6. Выражаем х₁. Сразу подставим известные величины.

2 год.
На сумму долга 5S/6 начисляются проценты, т.е. сумма долга увеличивается в m₁ раз. Производится вторая выплата х₂. При этом долг уменьшается на S/6 и становиться равным 4S/6. Выражаем х₂. 

3 год.
На сумму долга 4S/6 начисляются проценты, т.е. сумма долга увеличивается в m₁ раз. Производится третья выплата х₃. При этом долг уменьшается на S/4 и становиться равным 3S/6. Выражаем х₃.

4 год.
На сумму долга 3S/6 начисляются проценты, т.е. сумма долга увеличивается в m₂ раз. Производится четвертая выплата х₄. При этом долг уменьшается на S/4 и становиться равным 2S/6. Выражаем х₄.

5 год.
На сумму долга 2S/6 начисляются проценты, т.е. сумма долга увеличивается в m₂ раз. Производится пятая выплата х₅. При этом долг уменьшается на S/4 и становиться равным S/4. Выражаем х₅.

6 год.
На сумму долга S/6 начисляются проценты, т.е. сумма долга увеличивается в m₂ раз. Производится последняя выплата х₆. Долг погашен и равен 0. Выражаем х6.

Общая сумма выплат равна 7,2 млн. рублей. Сложим все выплаты, составив уравнение.

Найдем пятую выплату:

Ответ: 975000 рублей.