В июне 2028 года Егор планирует взять кредит в банке N на 4 года в размере 5 млн рублей. Условия его возврата таковы:

- в январе 2029 и 2030 годов долг увеличивается на 14% от суммы долга на конец предыдущего года;

- в январе 2031 и 2032 годов долг увеличивается на r% от суммы долга на конец предыдущего года;

- в период с февраля по июнь каждого года действия кредита необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

- к июлю 2032 года кредит должен быть полностью погашен.

Егору предложили взять кредит в банке G на таких же условиях, но только в первые два года долг будет увеличиваться на r%, а в последующие два года - на 14%. Найдите r, если общая сумма выплат по кредиту в банке G меньше суммы выплат по кредиту в банке N на 175 тыс. рублей.

Решение задачи

Банк N.

Дано:

S = 5 млн.

n = 4 года

a₁ = 14%

m₁ = 1 + 14/100 = 1,14

a₂ = r%

m₂ = 1 + r/100

x_n - выплаты

Найдем общую сумму выплат. Для этого выразим ежегодные выплаты. Так как долг уменьшается равномерно в течении четырех лет, то каждый год долг будет уменьшаться на S/4 млн. рублей.

1 год.

На сумму кредита S начисляются проценты, т.е. сумма долга увеличивается в m₁ раз. Производится первая выплата х₁. При этом долг уменьшается на S/4 и становиться равным 3S/4. Выражаем х₁. Сразу подставим известные величины.

2 год.

На сумму долга 3S/4 начисляются проценты, т.е. сумма долга увеличивается в m₁ раз. Производится вторая выплата х₂. При этом долг уменьшается на S/4 и становиться равным 2S/4. Выражаем х₂. 

3 год.

На сумму долга 2S/4 начисляются проценты, т.е. сумма долга увеличивается в m₂ раз. Производится третья выплата х₃. При этом долг уменьшается на S/4 и становиться равным S/4. Выражаем х₃.

4 год.

На сумму долга S/4 начисляются проценты, т.е. сумма долга увеличивается в m₂ раз. Производится последняя выплата х₄. Долг погашен и равен 0. Выражаем х₃.

Сложим все выплаты.

Банк G.

Дано:

S = 5 млн.

n = 4 года

a₁ = r%

m₁ = 1 + r/100

a₂ = 14%

m₂ = 1 + 14/100=1,14

x_n - выплаты

Те же самые действия выполним для банка G и выразим общую сумму выплат.

1 год.

2 год.

3 год.

4 год.

Общая сумма выплат:

Финал.

По условию задачи общая сумма выплат в банке N больше на 0,175 млн. руб., чем в банке G. Составим и решим уравение:

Ответ: 10,5.