В июле 2026 года планируется взять кредит на десять лет на сумму 1300 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг будет возрастать на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

- в июле 2027, 2028, 2029, 2030, 2031 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

- в июле 2032, 2033, 2034, 2035, 2036 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

- к июлю 2036 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2780 тыс. рублей. Сколько рублей составит платеж в 2027 году?

Решение задачи

Дано:

S = 1300 тыс. руб - сумма, взятая в кредит

a = 20% - проценты, которые начисляются ежегодно

m = 1 + a/100 = 1,2 - полезный коэффициент, показывающий во сколько раз увеличивается долг после начисления процентов.

x – уменьшение долга в первые 5 лет

y – уменьшение долга во вторые 5 лет

B_n – выплаты

n = 10 лет

Найти: В₁.

Решение:

2027 год.
На сумму S начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится первая выплата B₁. При этом сумма долга S уменьшится на х тыс. рублей. Запишем это:

Выразим B₁ и подставим в выражение известные величины.

2028 год.
На остаток долга (S-x) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится вторая выплата В₂. При этом сумма долга (S-x) уменьшается на x.

Ничего не выражаем.

2029 год.
На остаток долга (S-2x) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится третья выплата В₃. При этом сумма долга (S-2x) уменьшается на x.

Ничего не выражаем.

Если заметили закономерность в формулах, то можно сразу перейти к 2031 году. Я всё же распишу и 2030 год.

2030 год.
На остаток долга (S-3x) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится четвертая выплата В₄. При этом сумма долга (S-3x) уменьшается на x.

Ничего не выражаем.

2031 год.
На остаток долга (S-4x) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится пятая выплата В₅. При этом сумма долга (S-4x) уменьшается на x.

Выразим В₅ и подставим имеющиеся величины в формулу.

Первые 5 лет прошли. Начинаются следующие 5 лет.

2032 год.
На остаток долга (S-5x) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится шестая выплата В₆. При этом сумма долга (S-5x) уменьшается на y.

Выразим В₆ и подставим имеющиеся величины в формулу.

2033 год.
На остаток долга (S-5x-y) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится седьмая выплата В7. При этом сумма долга (S-5x-y) уменьшается на y.

Ничего не выражаем.

2034 год.
На остаток долга (S-5x-2y) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится восьмая выплата В₈. При этом сумма долга (S-5x-2y) уменьшается на y.

Ничего не выражаем.

Увидели закономерность? Переходите сразу к 2036 году. Не увидели? Продолжаем расписывать.

2035 год.
На остаток долга (S-5x-3y) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится девятая выплата В₉. При этом сумма долга (S-5x-3y) уменьшается на y.

Ничего не выражаем.

2036 год.
На остаток долга (S-5x-4y) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится десятая выплата В₁₀ и долг наконец-то погашен и равен 0.

Подставляем известные величины и выражаем В₁₀.

Кстати говоря, из равенства S-5x-5y=0 следует, что 5x+5y=1300.

Общая сумма выплат - это все платежи за 10 лет. Просуммируем все десять выплат. Т.к. сумма долга, а значит, и выплаты, уменьшаются равномерно, то мы имеем дело с арифметической прогрессией. Используем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии для первых пяти лет и для вторых.

Решим уравнение:

Т.к. 5x + 5y = 1300, то y = (1300 - 5x) : 5 = 260 - x. Сделаем замену и получим уравнение относительно одного неизвестного.

Подставим найденный х в формулу для нахождения выплаты за 2027 год (В₁):

Ответ: 380 тыс. рублей.