В августе 2027 года Алина планирует взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы:

— в январе 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг увеличивается на 15% от суммы долга на конец предыдущего года;

— в январе 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг увеличивается на 13% от суммы долга на конец предыдущего года;

— в период с февраля по июль необходимо выплатить часть долга;

— в августе каждого года действия кредита долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на август предыдущего года;

— к августу 2035 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите сумму кредита (в млн рублей), если она на 1690 тыс. рублей меньше суммы общих выплат по кредиту.

Решение задачи

Дано:

S - сумма кредита

а = 15% - проценты, которые начисляются первые 4 года

m - 1+а/100 = 1,15 - число, показывающее во сколько раз увеливается долг первые 4 года

а₁ = 13% - проценты, которые начисляются в следующие 4 года

m₁ - 1+а₁/100 = 1,13 - число, показывающее во сколько раз увеливается долг следующие 4 года

B_n - выплаты

(В₁ + ... + В₈) - S = 1690 тыс. рублей

Найти: S.

Решение:

Т.к. долг уменьшается на одну и ту же величину в период всего действия кредита, то он уменьшается на S/8 каждый раз после выплат (сумму кредита поделили на 8 лет).

2028 год.

На сумму S начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится первая выплата В₁. При этом долг уменьшается на S/8.

Выразим В₁.

2029 год.

На сумму 7S/8 начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится вторая выплата В₂. При этом долг уменьшается на S/8.

2030 год.

На сумму 6S/8 начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится третья выплата В₃. При этом долг уменьшается на S/8.

2031 год.

На сумму 5S/8 начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится четвертая выплата В₄. При этом долг уменьшается на S/8.

Выразим В₄.

2032 год. Проценты поменялись.

На сумму 4S/8 начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m₁ раз. Производится пятая выплата В₅. При этом долг уменьшается на S/8.

Выразим В₅.

2033 год. 

На сумму 3S/8 начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m₁ раз. Производится шестая выплата В₆. При этом долг уменьшается на S/8.

2034 год.

На сумму 2S/8 начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m₁ раз. Производится седьмая выплата В₇. При этом долг уменьшается на S/8.

2035 год.

На сумму S/8 начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m₁ раз. Производится восьмая выплата В8. Кредит погашен.

Выразим В₈.

Т.к. выплаты уменьшаются равномерно, то используем формулу суммы n первых член арифметической прогрессии. Воспользуемся этой формулой для первых четырех лет и для вторых.

Выразим общую сумму выплат.

Т.к. разница между общей суммой выплат и суммой кредита равно 1690, то составим уравнение:

Ответ нужно выразить в млн. рублей.

Ответ: 2,6 млн. рублей.