Right navigation

ОГЭ

Задача

На сторонах АС и ВС треугольника АВС вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M – середина стороны АВ.

а) Докажите, что СМ = 1/2DK.

б) Найдите расстояние от точки М до центров квадратов, если АС = 10, ВС = 32 и ∠АСВ = 30°.

Решение задачи

Достроим треугольник АВС до параллелограмма ACBZ

а) Пусть ∠DCK = α, тогда ∠ACB = 180° - α (не забываем, что по бокам углы по 90°). 

Т.к. ACBZ - параллелограмм, то АС || BZ и ∠CBZ = 180° - ∠ACB = 180° - (180° - α) = α (сумма односторонних углов равна 180°).

ΔCDK = ΔСBZ по двум сторонам и углу между ними, т.к. ∠DCK = ∠ACB = α; CD = CA и KC = CB (как стороны квадратов). Из равенства треугольников следует, что DK = CZ.

CZ - диагональ параллелограмма и точкой пересечения M делится пополам. Следовательно, СМ =1/2СZ = 1/2DK.

б) Пусть О - центр квадрата AEDC. Тогда MO - одно из искомых расстояний.

В треугольнике ADB MO - средняя линия, параллельная основанию BD.

Длину BD найдем из треугольника CDB. 

∠DCK = 180° - ∠ACB = 180° - 30° = 150°; ∠DCB = 150° + 90° = 240°.

По теореме косинусов

Аналогично найдем второе расстояние. Пусть О1 - центр квадрата CKFB. Тогда MO1 - второе из искомых расстояний.

В треугольнике ABK MO1 - средняя линия, параллельная основанию AK.

Длину АК найдем из треугольника АСК.

 ∠АСК = 150° + 90° = 240°.

По теореме косинусов

Ответ: б) 19; 19.

Просмотры: 162

ЕГЭ (базовый уровень)

ЕГЭ (профильный уровень)