Задача

Медианы АА₁, ВВ₁ и СС₁ треугольника АВС пересекаются в точке М. Известно, что АС = 3МВ.

а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.

б) Найдите сумму квадратов медиан АА₁ и СС₁, если известно, что АС = 12.

Решение задачи

а) Докажем, что треугольник АВС прямоугольный.

Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, начиная от вершины, значит,

Если медиана, проведенная к стороне, равна половине этой стороны, то треугольник прямоугольный и данная сторона является гипотенузой (признак прямоугольного треугольника).

Отсюда, треугольник АВС прямоугольный с прямым углом В.

б) Найдем сумму квадратов медиан АА₁ и СС₁.

Из прямоугольного треугольника А₁ВА, используя теорему Пифагора, выразим АА₁:

Из прямоугольного треугольника С₁ВС, используя теорему Пифагора, выразим СС₁:

Сложим квадраты медиан:

Ответ: 180.

Прототипы задачи

Задачка:

Медианы АА₁, ВВ₁ и СС₁ треугольника АВС пересекаются в точке М. Известно, что АС = 3МВ.

а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.

б) Найдите сумму квадратов медиан АА₁ и СС₁, если известно, что АС = 10.

Ответ:

б) 125.

Задачка:

Медианы АА₁, ВВ₁ и СС₁ треугольника АВС пересекаются в точке М. Известно, что АС = 3МВ.

а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.

б) Найдите сумму квадратов медиан АА₁ и СС₁, если известно, что АС = 8.

Ответ:

б) 80.

ОГЭ

Решение задачи

Прототипы задачи

ЕГЭ (базовый уровень)

ЕГЭ (профильный уровень)