Right navigation

ОГЭ

Задача

Диагональ АС прямоугольника ABCD с центром О образует со стороной АВ угол 30°. Точка Е лежит вне прямоугольника, причем ∠ВЕС = 120°.

а) Докажите, что ∠СВЕ = ∠СОЕ.

б) Прямая ОЕ пересекает сторону AD прямоугольника в точке К. Найдите ЕК, если известно, что ВЕ = 40 и СЕ = 24.

Решение задачи


а) В прямоугольном треугольнике АВС: если ∠ВАС = 30°, то ∠BCD = 90° - 30° = 60° (сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°).

ΔВОС - равнобедренный, т.к. ВО = ОС (диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам), значит, ∠СВО = 60° и ∠ВОС = 60°, следовательно, ΔВОС - равносторонний.

Сумма противоположных углов ВЕС и ВОС четырехугольника  ВЕСО равна 120° + 60° =180°, значит, вокруг него можно описать окружность.

∠СВЕ = ∠СОЕ как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу ЕС.

б) В треугольнике ВЕС по теореме косинусов найдем ВС:

Т.к. ΔВОС - равносторонний, то ВО = ВС = 56 (это пригодится позже).

∠СЕО = ∠СВО = 60° как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу ОС.

Тогда ∠ВЕО = 120° - 60° = 60° и EQ - биссектриса ΔВЕС.

По свойству биссектрис (Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон):

Треугольники EQC и BQC подобны по двум углам (∠BQO = ∠OBQ - вертикальные, ∠СЕQ = ∠СВО = 60°).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон, т.е.

OK = OQ = 49, т.к. ΔBQO = ΔOKD по стороне и двум прилежащим к ней углам (BO = OD = 56; ∠QBO = ∠ODK = 60 - накрест лежащие; ∠BOQ = ∠KOD - вертикальные).

EK = EQ + QO + OK = 15 + 49 +49 = 113.

Ответ: 113.

Просмотры: 159

ЕГЭ (базовый уровень)

ЕГЭ (профильный уровень)